NHỮNG HÌNH GẦN NHƯ LẤP ĐẦY KHÔNG GIAN

Hình vuông và hình lục giác lát kín sàn nhà một cách hoàn hảo. Nhiều hình khác thì không. Nhưng một hình không thể lát kín mọi thứ vẫn có thể được bao quanh bởi các bản sao của chính nó, khít khao, không khe hở và không chồng lấn. Một vòng bản sao như thế được gọi là vành (corona). Đôi khi một vành thứ hai vừa khít quanh vành thứ nhất, rồi một vành thứ ba. Số vành lớn nhất mà bạn có thể dựng được là số Heesch của hình, đặt theo tên Heinrich Heesch.

Một hình lát kín được mặt phẳng có số Heesch vô hạn, và điều ngược lại cũng đúng. Vì vậy con số này đo xem một hình không lát kín được tiến gần đến việc lát kín tới mức nào.

Mắc kẹt ở con số sáu

Bài toán Heesch hỏi liệu các số Heesch hữu hạn có một mức trần hay không. Theo bài báo, tiến triển trên mặt phẳng diễn ra chậm chạp: qua nhiều năm, người ta tìm được các hình có số Heesch là 2, rồi 3, rồi 5, và 6 vào năm 2021, đến nay vẫn là kỷ lục trên mặt phẳng. Hình đó do chính tác giả của bài báo mới tìm ra. Những cuộc tìm kiếm lớn bằng máy tính trên các hình ghép từ hình vuông, lục giác hay tam giác chưa bao giờ tìm được gì trên 4.

Câu hỏi này có ý nghĩa vượt ra ngoài các trò chơi đố. Nếu số Heesch có một mức trần với một họ hình hợp lý, người ta có thể quyết định một hình có lát kín được mặt phẳng hay không: chỉ cần thử dựng nhiều hơn một vành so với mức trần cho phép. Liệu điều đó có quyết định được đối với một hình đơn lẻ trên mặt phẳng hay không thì vẫn chưa ai biết.

Không có mức trần trong ba chiều

Bojan Bašić (Đại học Novi Sad, Serbia) giải quyết câu hỏi này trong không gian. Với mọi số nguyên h, ông dựng được một khối có số Heesch hữu hạn và ít nhất bằng h. Vì một cấu trúc ba chiều có thể được mở rộng lên các chiều cao hơn, điều tương tự cũng đúng ở mọi số chiều từ 3 trở lên. Mặt phẳng vẫn là câu hỏi bỏ ngỏ.

Cách dựng hình rõ ràng và sơ cấp. Hình được ghép từ 48h + 64 khối lập phương đơn vị, điểm thêm những mấu lồi nhỏ và những khấc lõm tương ứng.

Bốn con số trên một đường thẳng

Mọi thứ bắt đầu từ bốn số nguyên:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Các bản sao tịnh tiến của tập này không bao giờ có thể phủ hết mọi số nguyên mà không chồng lấn: bài báo đưa ra một chứng minh ngắn. Thế nhưng chúng có thể lấp kín, không khe hở, một dãy gồm 4n² − 10n − 2 số nguyên liên tiếp, dù bản thân tập chỉ trải dài 4n. Một lần “suýt thành công” dài đến thế chính là điều một số Heesch lớn cần.

Từ điểm đến khối lập phương

Tác giả đặt bốn điểm dọc theo một hướng chéo của một lưới khối lập phương, và gắn vào mỗi điểm cùng một đường gấp khúc: 2n khối dọc theo một trục, rồi lên một tầng và 2n khối dọc theo một trục khác. Bốn đường này nối lại thành một khối liên thông duy nhất gồm 16n khối lập phương. Nó thừa hưởng cả hai tính chất của bốn con số: nó không thể lấp đầy không gian, nhưng các bản sao của nó lấp kín cả một khối lập phương có cạnh 4n² − 12n − 1.

Những mấu lồi nhỏ trên các mặt, mỗi mấu chỉ vừa với khấc lõm của riêng nó, ngăn các bản sao bị xoay hay lật, nên các bản sao kề nhau buộc phải xếp thẳng hàng chính xác. Sau đó, bắt đầu từ một bản sao ở tâm khối lập phương lớn đã được lấp kín, có thể bóc ra từng vòng bản sao một làm các vành. Chọn n = 3h + 4 bảo đảm có ít nhất h vành.

Không gian đi trước mặt phẳng

Bài báo lưu ý rằng đây không phải câu hỏi lát kín đầu tiên được trả lời trong không gian trước mặt phẳng. Một khối lấp đầy không gian thuộc một loại đặc biệt, từng được Hilbert đặt câu hỏi, đã được tìm thấy năm 1928, bảy năm trước phiên bản phẳng của nó. Và một khối không tuần hoàn ba chiều đã được dựng năm 1988, khoảng ba thập kỷ rưỡi trước khi các hình không tuần hoàn được phát hiện trên mặt phẳng. Liệu kỷ lục 6 trên mặt phẳng có thể bị phá vỡ không giới hạn hay không, đó là phần của câu hỏi Heesch vẫn còn đang chờ lời giải.