UZAYI NEREDEYSE DOLDURAN ŞEKİLLER

Kareler ve altıgenler zemini kusursuzca döşer. Pek çok başka şekil döşemez. Ama her yeri döşeyemeyen bir şekil yine de kendi kopyalarıyla, boşluk ve örtüşme olmadan, sıkıca çevrelenebilir. Böyle bir kopya halkasına korona denir. Bazen ilkinin etrafına ikinci bir korona oturur, sonra üçüncüsü. İnşa edebileceğiniz en büyük korona sayısı, Heinrich Heesch’in adını taşıyan, şeklin Heesch sayısıdır.

Düzlemi döşeyen bir şeklin Heesch sayısı sonsuzdur ve bunun tersi de doğrudur. Dolayısıyla bu sayı, döşeme yapmayan bir şeklin döşemeye ne kadar yaklaştığını ölçer.

Altıda takılı kalmak

Heesch problemi, sonlu Heesch sayılarının bir tavanı olup olmadığını sorar. Makaleye göre düzlemde ilerleme yavaş oldu: yıllar içinde Heesch sayısı 2, sonra 3, sonra 5 olan şekiller bulundu, 2021’de ise hâlâ düzlem rekoru olan 6. Bu şekli yeni makalenin yazarının kendisi bulmuştu. Karelerden, altıgenlerden ya da üçgenlerden oluşan şekiller arasında yapılan büyük bilgisayar aramaları hiçbir zaman 4’ün üzerinde bir şey bulamadı.

Soru bulmacaların ötesinde önem taşıyor. Makul bir şekil ailesi için Heesch sayılarının bir tavanı olsaydı, bir şeklin düzlemi döşeyip döşemediğine karar verilebilirdi: tavanın izin verdiğinden bir fazla korona inşa etmeyi denemek yeterdi. Düzlemde tek bir şekil için buna karar verilip verilemeyeceği hâlâ bilinmiyor.

Üç boyutta tavan yok

Bojan Bašić (Novi Sad Üniversitesi, Sırbistan) soruyu uzayda çözüyor. Her h tam sayısı için, Heesch sayısı sonlu ve en az h olan bir katı cisim inşa ediyor. Üç boyutlu bir yapı daha yüksek boyutlara genişletilebildiği için, aynı şey 3’ten itibaren her boyutta geçerli. Düzlem açık kalıyor.

Yapı açık ve temel düzeyde. Şekil, küçük çıkıntılar ve onlara uyan çentiklerle süslenmiş 48h + 64 birim küpten oluşuyor.

Bir doğru üzerinde dört sayı

Her şey dört tam sayıyla başlıyor:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Bu kümenin kaydırılmış kopyaları, tüm tam sayıları örtüşme olmadan asla kaplayamaz: makale kısa bir kanıt veriyor. Yine de, kümenin kendisi yalnızca 4n’lik bir aralığa yayılmasına rağmen, 4n² − 10n − 2 ardışık tam sayıdan oluşan bir diziyi boşluksuz doldurabilirler. Bu kadar uzun bir ıskalama, büyük bir Heesch sayısının tam olarak ihtiyaç duyduğu şey.

Noktalardan küplere

Yazar dört noktayı bir küp ızgarasının köşegen bir doğrultusu boyunca yerleştiriyor ve her birine aynı bükülmüş yolu ekliyor: bir eksen boyunca 2n küp, sonra bir seviye yukarı ve başka bir eksen boyunca 2n küp. Dört yol, 16n küpten oluşan tek, bağlantılı bir blokta birleşiyor. Blok, dört sayının iki özelliğini de miras alıyor: uzayı dolduramıyor, ama kopyaları kenarı 4n² − 12n − 1 olan koca bir küpü dolduruyor.

Yüzlerdeki küçük çıkıntılar, her biri yalnızca kendi çentiğine uyacak şekilde, kopyaların döndürülmesini ya da ters çevrilmesini engelliyor; böylece komşular tam olarak hizalanmaya zorlanıyor. Ardından, o büyük dolu küpün merkezindeki bir kopyadan başlayarak, halka halka kopyalar koronalar olarak soyulabiliyor. n = 3h + 4 seçmek bunlardan en az h tane olmasını garanti ediyor.

Düzlemden önce uzay

Makale, bunun uzayda düzlemden önce cevaplanan ilk döşeme sorusu olmadığını belirtiyor. Hilbert’in sorduğu özel türden bir uzay dolduran katı cisim 1928’de, düzlemdeki karşılığından yedi yıl önce bulundu. Üç boyutlu aperiyodik bir katı cisim de 1988’de, aperiyodik şekillerin düzlemde keşfedilmesinden yaklaşık otuz beş yıl önce inşa edildi. Düzlemdeki 6 rekorunun sınırsızca aşılıp aşılamayacağı, Heesch sorusunun hâlâ bekleyen kısmı.