ऐसी आकृतियाँ जो लगभग पूरा स्थान भर देती हैं

वर्ग और षट्भुज फ़र्श को पूरी तरह ढक देते हैं। कई दूसरी आकृतियाँ नहीं ढकतीं। लेकिन जो आकृति सब कुछ नहीं ढक सकती, उसे भी उसकी अपनी प्रतियों से कसकर, बिना ख़ाली जगह और बिना एक-दूसरे पर चढ़े घेरा जा सकता है। प्रतियों के ऐसे घेरे को कोरोना कहते हैं। कभी-कभी पहले कोरोना के चारों ओर दूसरा कोरोना भी बैठ जाता है, फिर तीसरा। जितने अधिकतम कोरोना बनाए जा सकते हैं, वह उस आकृति की हीश संख्या है, जिसका नाम Heinrich Heesch के नाम पर है।

जो आकृति समतल को ढक देती है, उसकी हीश संख्या अनंत होती है, और इसका उलटा भी सच है। इसलिए यह संख्या मापती है कि समतल को न ढक पाने वाली कोई आकृति उसे ढकने के कितने क़रीब आती है।

छह पर अटके

हीश की समस्या पूछती है कि क्या परिमित हीश संख्याओं की कोई ऊपरी सीमा है। शोधपत्र के अनुसार, समतल में प्रगति धीमी रही है: वर्षों में हीश संख्या 2, फिर 3, फिर 5 वाली आकृतियाँ मिलीं, और 2021 में 6, जो अब भी समतल का रिकॉर्ड है। वह आकृति इस नए शोधपत्र के लेखक ने ही खोजी थी। वर्गों, षट्भुजों या त्रिभुजों से बनी आकृतियों में बड़ी कंप्यूटर खोजों को कभी 4 से ऊपर कुछ नहीं मिला।

यह सवाल पहेलियों से आगे भी मायने रखता है। अगर आकृतियों के किसी उचित परिवार के लिए हीश संख्याओं की ऊपरी सीमा होती, तो यह तय किया जा सकता कि कोई आकृति समतल को ढकती है या नहीं: बस सीमा जितने कोरोना की अनुमति देती है, उससे एक ज़्यादा बनाने की कोशिश कीजिए। समतल में एक अकेली आकृति के लिए यह तय किया जा सकता है या नहीं, यह अब भी अज्ञात है।

तीन आयामों में कोई सीमा नहीं

Bojan Bašić (नोवी साद विश्वविद्यालय, सर्बिया) इस सवाल को अंतरिक्ष में सुलझा देते हैं। हर पूर्ण संख्या h के लिए, वे एक ठोस बनाते हैं जिसकी हीश संख्या परिमित है और कम से कम h है। चूँकि एक 3D निर्माण को उच्चतर आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, यही बात 3 और उससे ऊपर के हर आयाम में लागू होती है। समतल का सवाल अभी खुला है।

यह निर्माण स्पष्ट और प्राथमिक स्तर का है। आकृति 48h + 64 इकाई घनों से बनी है, जिन पर छोटे उभार और उनसे मेल खाते छोटे खाँचे बने हैं।

एक रेखा पर चार संख्याएँ

सब कुछ चार पूर्णांकों से शुरू होता है:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

इस समुच्चय की खिसकाई गई प्रतियाँ कभी भी बिना एक-दूसरे पर चढ़े सभी पूर्णांकों को नहीं ढक सकतीं: शोधपत्र इसका एक छोटा प्रमाण देता है। फिर भी वे बिना ख़ाली जगह के 4n² − 10n − 2 क्रमागत पूर्णांकों की एक लड़ी भर सकती हैं, जबकि समुच्चय ख़ुद केवल 4n तक फैला है। इतना लंबा “बाल-बाल चूकना” ठीक वही है जिसकी एक बड़ी हीश संख्या को ज़रूरत होती है।

बिंदुओं से घनों तक

लेखक इन चार बिंदुओं को घनों के एक ग्रिड की एक विकर्ण दिशा में रखते हैं, और हर एक से वही मुड़ा हुआ पथ जोड़ते हैं: एक अक्ष के साथ 2n घन, फिर एक स्तर ऊपर और दूसरे अक्ष के साथ 2n घन। चारों पथ मिलकर 16n घनों का एक अकेला जुड़ा हुआ खंड बनाते हैं। यह चार संख्याओं के दोनों गुण विरासत में पाता है: यह स्थान को नहीं भर सकता, लेकिन इसकी प्रतियाँ 4n² − 12n − 1 भुजा वाले एक पूरे घन को भर देती हैं।

सतहों पर छोटे उभार, जिनमें से हर एक केवल अपने खाँचे में बैठता है, प्रतियों को घुमाने या पलटने से रोकते हैं, इसलिए पड़ोसियों को ठीक-ठीक एक सीध में आना पड़ता है। फिर, उस बड़े भरे हुए घन के केंद्र की एक प्रति से शुरू करके, प्रतियों के घेरे-दर-घेरे को कोरोना के रूप में उतारा जा सकता है। n = 3h + 4 चुनने से उनमें से कम से कम h की गारंटी होती है।

समतल से पहले अंतरिक्ष

शोधपत्र बताता है कि यह टाइलिंग का पहला सवाल नहीं है जिसका जवाब समतल से पहले अंतरिक्ष में मिला। हिल्बर्ट द्वारा पूछा गया एक विशेष प्रकार का स्थान भरने वाला ठोस 1928 में मिला, अपने समतल समकक्ष से सात साल पहले। और एक त्रि-आयामी अनावर्ती (aperiodic) ठोस 1988 में बनाया गया, समतल में अनावर्ती आकृतियों की खोज से लगभग साढ़े तीन दशक पहले। क्या समतल का 6 का रिकॉर्ड बिना सीमा के तोड़ा जा सकता है, यही हीश के सवाल का वह हिस्सा है जो अब भी जवाब की प्रतीक्षा में है।