空間をほとんど埋め尽くす形

正方形や正六角形は床を完璧に敷き詰める。しかし、そうならない形も多い。とはいえ、すべてを敷き詰められない形でも、自分の複製に囲まれることはある。すき間も重なりもなく、ぴったりとだ。こうした複製の輪はコロナ（corona）と呼ばれる。1つ目のコロナの周りに2つ目がはまることもあり、さらに3つ目がはまることもある。作ることのできるコロナの最大数が、ハインリッヒ・ヘーシュにちなんで名づけられたその形のヘーシュ数だ。

平面を敷き詰める形のヘーシュ数は無限大で、その逆も成り立つ。つまりこの数は、敷き詰めのできない形が、敷き詰めにどれだけ近づくかを測るものだ。

6で足踏み

ヘーシュの問題は、有限のヘーシュ数に上限があるかどうかを問う。論文によれば、平面での進展は遅かった。長年にわたって、ヘーシュ数が2、次に3、そして5の図形が見つかり、2021年には6が見つかった。これが今も平面での記録で、その図形を見つけたのはほかならぬ今回の論文の著者だ。正方形、正六角形、三角形からなる形を大規模にコンピューターで探索しても、4を超えるものは見つからなかった。

この問いはパズルにとどまらない意味を持つ。もし適当な形の族についてヘーシュ数に上限があれば、ある形が平面を敷き詰めるかどうかを判定できることになる。上限が許すより1つ多いコロナを作ってみればよいのだ。平面で単一の形についてそれが判定可能かどうかは、いまだにわかっていない。

3次元では上限なし

セルビアのノヴィ・サド大学のBojan Bašićは、空間でこの問いに決着をつけた。どんな自然数hに対しても、ヘーシュ数が有限で、かつh以上であるような立体を作れるのだ。3次元での構成は高次元へと拡張できるので、3次元以上のすべての次元で同じことが成り立つ。平面はまだ未解決のままだ。

構成は具体的で初等的だ。その形は48h + 64個の単位立方体からなり、小さな突起と、それに合うくぼみで飾られている。

数直線上の4つの数

すべては4つの整数から始まる。

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

この集合をずらした複製で、重なりなくすべての整数を覆うことは決してできない。論文はその短い証明を示している。それでも、集合そのものが4nの幅しかないのに、すき間なく4n² − 10n − 2個の連続する整数の区間を埋めることができる。これほど長い「惜しい失敗」こそ、大きなヘーシュ数に必要なものだ。

点から立方体へ

著者は、4つの点を立方体の格子の対角線方向に並べ、それぞれに同じ折れ曲がった経路を取り付ける。ある軸に沿って2n個の立方体、そこから1段上がって別の軸に沿って2n個の立方体だ。4本の経路はつながって、16n個の立方体からなる一つの連結したブロックになる。このブロックは4つの数の両方の性質を受け継ぐ。空間を埋めることはできないが、その複製で、一辺が4n² − 12n − 1の立方体全体を埋めることができるのだ。

面にある小さな突起は、それぞれ自分に対応するくぼみにしかはまらないので、複製を回転させたり裏返したりすることはできず、隣り合う複製はぴったりそろうしかない。そのうえで、その大きな埋め尽くされた立方体の中心にある複製から出発して、複製の輪を一つずつコロナとしてはがしていける。n = 3h + 4と選べば、少なくともh個のコロナが保証される。

平面より先に空間で

論文は、平面より先に空間で答えが出た敷き詰めの問いはこれが初めてではないと指摘している。ヒルベルトが問うた特別な種類の空間充填立体は1928年に見つかったが、これは平面版の7年前だった。また、3次元の非周期的な立体は1988年に作られたが、それは平面で非周期的な形が発見されるおよそ35年前のことだった。平面での記録である6を際限なく破れるかどうかが、ヘーシュの問いのうち、まだ答えを待っている部分だ。