अवकाश जवळजवळ भरून काढणारे आकार

चौरस आणि षट्कोन जमीन अचूकपणे व्यापतात. इतर अनेक आकार तसे करत नाहीत. पण सर्व काही व्यापू न शकणारा आकारसुद्धा स्वतःच्याच प्रतींनी वेढला जाऊ शकतो, घट्ट, फट न ठेवता आणि एकमेकांवर न चढता. प्रतींच्या अशा कड्याला कोरोना (corona) म्हणतात. कधीकधी पहिल्या कोरोनाभोवती दुसरा बसतो, मग तिसरा. तुम्ही जास्तीत जास्त जितके कोरोना बांधू शकता ती संख्या म्हणजे त्या आकाराचा हीश क्रमांक, हाइनरिश हीश (Heinrich Heesch) यांच्या नावावरून.

प्रतल व्यापणाऱ्या आकाराचा हीश क्रमांक अनंत असतो, आणि उलटही खरे आहे. म्हणजे हा क्रमांक, न व्यापणारा आकार व्यापण्याच्या किती जवळ येतो हे मोजतो.

सहावर अडकलेले

हीशचा प्रश्न विचारतो की मर्यादित हीश क्रमांकांना एखादी कमाल मर्यादा आहे का. शोधनिबंधानुसार, प्रतलात प्रगती संथ राहिली आहे: वर्षानुवर्षे हीश क्रमांक 2, मग 3, मग 5 असलेल्या आकृत्या सापडल्या, आणि 2021 मध्ये 6, जो अजूनही प्रतलातील विक्रम आहे. ती आकृती नव्या शोधनिबंधाच्या लेखकानेच शोधली होती. चौरस, षट्कोन किंवा त्रिकोण यांपासून बनलेल्या आकारांचे मोठे संगणकीय शोध 4 च्या वर कधीच काही शोधू शकले नाहीत.

हा प्रश्न कोड्यांपुरता मर्यादित नाही. आकारांच्या एखाद्या वाजवी कुटुंबासाठी हीश क्रमांकांना कमाल मर्यादा असती, तर एखादा आकार प्रतल व्यापतो की नाही हे ठरवता आले असते: फक्त मर्यादेने परवानगी दिलेल्यापेक्षा एक कोरोना जास्त बांधण्याचा प्रयत्न करायचा. प्रतलात एका आकारासाठी हे ठरवता येते की नाही, हे अजूनही अज्ञात आहे.

त्रिमितीत कमाल मर्यादा नाही

Bojan Bašić (नोव्ही साड विद्यापीठ, सर्बिया) अवकाशात हा प्रश्न निकाली काढतात. प्रत्येक पूर्ण संख्या h साठी, ते असा घनाकार तयार करतात ज्याचा हीश क्रमांक मर्यादित आहे आणि किमान h आहे. त्रिमितीतील रचना उच्च मितींमध्ये विस्तारता येत असल्याने, 3 पासून पुढच्या प्रत्येक मितीत हेच खरे ठरते. प्रतलाचा प्रश्न अजून खुला आहे.

रचना स्पष्ट आणि प्राथमिक आहे. हा आकार 48h + 64 एकक घनांपासून बनलेला आहे, आणि त्यावर लहान उंचवटे व त्यांना जुळणाऱ्या खाचा आहेत.

रेषेवरच्या चार संख्या

सर्व काही चार पूर्णांकांपासून सुरू होते:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

या संचाच्या सरकवलेल्या प्रती एकमेकांवर न चढता सर्व पूर्णांक कधीच व्यापू शकत नाहीत: शोधनिबंध याची छोटी सिद्धता देतो. तरीही त्या, फट न ठेवता, 4n² − 10n − 2 सलग पूर्णांकांचा पट्टा भरू शकतात, जरी संच स्वतः फक्त 4n इतकाच पसरलेला आहे. एवढी लांब “थोडक्यात हुकलेली” स्थितीच मोठ्या हीश क्रमांकाला हवी असते.

बिंदूंपासून घनांपर्यंत

लेखक हे चार बिंदू घनांच्या जाळीच्या एका कर्ण-दिशेने मांडतात, आणि प्रत्येकाला तोच वाकलेला मार्ग जोडतात: एका अक्षावर 2n घन, मग एक पातळी वर आणि दुसऱ्या अक्षावर 2n घन. हे चार मार्ग जुळून 16n घनांचा एकच जोडलेला ठोकळा बनतो. त्याला चार संख्यांचे दोन्ही गुणधर्म वारशाने मिळतात: तो अवकाश भरू शकत नाही, पण त्याच्या प्रती 4n² − 12n − 1 कडेच्या संपूर्ण घनाला भरतात.

पृष्ठांवरचे लहान उंचवटे, प्रत्येक फक्त आपल्याच खाचेत बसणारा, प्रतींना फिरवण्यापासून किंवा उलटवण्यापासून रोखतात, त्यामुळे शेजाऱ्यांना अचूक रांगेत बसावेच लागते. मग, त्या मोठ्या भरलेल्या घनाच्या मध्यभागी असलेल्या प्रतीपासून सुरुवात करून, प्रतींचे एकेक कडे कोरोना म्हणून सोलून काढता येते. n = 3h + 4 निवडल्यास त्यांपैकी किमान h ची खात्री मिळते.

प्रतलाआधी अवकाश

शोधनिबंध नमूद करतो की प्रतलाआधी अवकाशात उत्तर मिळालेला हा पहिला व्यापण्याचा प्रश्न नाही. हिल्बर्टने विचारलेला एका विशेष प्रकारचा अवकाश-व्यापी घनाकार 1928 मध्ये सापडला, त्याच्या सपाट समकक्षाच्या सात वर्षे आधी. आणि एक त्रिमितीय अनावर्ती (aperiodic) घनाकार 1988 मध्ये तयार केला गेला, प्रतलात अनावर्ती आकार शोधले जाण्याच्या सुमारे साडेतीन दशके आधी. प्रतलातील 6 चा विक्रम अमर्यादपणे मोडता येतो का, हा हीशच्या प्रश्नाचा अजूनही वाट पाहणारा भाग आहे.