SIFFOFI DA KUSAN SUKE CIKA SARARI

Murabba’ai da siffofi masu gefe shida (hexagons) suna rufe ƙasa daidai kamar tayal. Wasu siffofi da yawa ba sa yi. Amma siffar da ba za ta iya rufe komai ba har yanzu za a iya kewaye ta da kwafinta, matse-matse, ba tare da gibi ko hawa kan juna ba. Irin wannan zobe na kwafi ana kiran sa corona. Wani lokaci corona na biyu yana dacewa a kewayen na farko, sannan na uku. Mafi yawan adadin coronas da za ka iya ginawa shi ne lambar Heesch ta siffar, bisa sunan Heinrich Heesch.

Siffar da ke rufe shimfiɗaɗɗen fili tana da lambar Heesch marar iyaka, kuma akasin haka ma gaskiya ne. Don haka lambar tana auna yadda siffar da ba ta rufe fili ke kusantar rufe shi.

A tsaye a shida

Matsalar Heesch tana tambaya ko lambobin Heesch masu iyaka suna da rufi. A kan shimfiɗaɗɗen fili, ci gaba ya yi jinkiri, a cewar takardar: an sami siffofi masu lambar Heesch 2, sannan 3, sannan 5 a tsawon shekaru, da 6 a 2021, wanda har yanzu shi ne babban tarihin shimfiɗaɗɗen fili. Marubucin sabuwar takardar da kansa ne ya sami wannan siffar. Manyan binciken kwamfuta a cikin siffofin da aka yi da murabba’ai, hexagons ko triangles ba su taɓa samun komai sama da 4 ba.

Tambayar tana da muhimmanci fiye da wasannin ƙwaƙwalwa. Idan lambobin Heesch suna da rufi ga wani iyalin siffofi mai ma’ana, mutum zai iya yanke shawara ko siffa tana rufe shimfiɗaɗɗen fili: kawai a yi ƙoƙarin gina corona ɗaya fiye da abin da rufin ya yarda. Ko za a iya yanke wannan shawarar ga siffa guda a kan shimfiɗaɗɗen fili har yanzu ba a sani ba.

Babu rufi a girma uku

Bojan Bašić (Jami’ar Novi Sad, Serbia) ya warware tambayar a sarari. Ga kowace lamba cikakkiya h, yana gina wani daskararren abu (solid) wanda lambar Heesch ɗinsa take da iyaka kuma aƙalla h. Tun da za a iya faɗaɗa ginin 3D zuwa girma mafi yawa, haka ma yake a kowane girma daga 3 zuwa sama. Shimfiɗaɗɗen fili har yanzu a buɗe yake.

Ginin a bayyane yake kuma mai sauƙi ne. Siffar an yi ta da cubes guda 48h + 64, an yi musu ado da ƙananan ƙuraje da kuma ramukan da suka dace da su.

Lambobi huɗu a kan layi

Komai yana farawa da lambobi cikakku huɗu:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Kwafin wannan tarin da aka matsar ba za su taɓa rufe dukkan lambobi cikakku ba tare da hawa kan juna ba: takardar ta ba da gajeriyar hujja. Duk da haka za su iya cika, ba tare da gibi ba, jerin lambobi cikakku 4n² − 10n − 2 masu bin juna, ko da yake tarin da kansa yana da faɗin 4n kawai. Kusan-cin-nasara mai tsawo haka shi ne daidai abin da babbar lambar Heesch ke buƙata.

Daga ɗigogi zuwa cubes

Marubucin ya sanya ɗigogi huɗu a kan wata alkibla ta karkata (diagonal) ta grid na cubes, kuma ya liƙa wa kowanne hanya mai lanƙwasa iri ɗaya: cubes 2n tare da wani axis, sannan mataki ɗaya sama da cubes 2n tare da wani axis. Hanyoyin huɗu suna haɗuwa su zama tubali ɗaya mai haɗe na cubes 16n. Ya gaji duka halayen lambobi huɗun: ba zai iya cika sarari ba, amma kwafinsa suna cika dukkan cube mai gefen 4n² − 12n − 1.

Ƙananan ƙuraje a kan fuskoki, kowanne yana dacewa da ramin da ya dace da shi kawai, suna hana a juya kwafin ko a kife su, don haka ana tilasta wa maƙwabta su jeru daidai. Sannan, farawa daga kwafi a tsakiyar wannan babban cube da aka cika, za a iya cire zobe bayan zobe na kwafi a matsayin coronas. Zaɓen n = 3h + 4 yana tabbatar da aƙalla h daga cikinsu.

Sarari kafin shimfiɗaɗɗen fili

Takardar ta lura cewa wannan ba ita ce tambayar rufe fili ta farko da aka amsa a sarari kafin shimfiɗaɗɗen fili ba. Wani daskararren abu mai cika sarari na wani nau’i na musamman, wanda Hilbert ya tambaya game da shi, an same shi a 1928, shekaru bakwai kafin takwaransa na shimfiɗaɗɗen fili. Kuma an gina wani daskararren abu na girma uku marar maimaitawa (aperiodic) a 1988, kusan shekaru talatin da biyar da rabi kafin a gano siffofi marasa maimaitawa a kan shimfiɗaɗɗen fili. Ko za a iya doke babban tarihin shimfiɗaɗɗen fili na 6 ba tare da iyaka ba, shi ne ɓangaren tambayar Heesch da har yanzu ke jira.