வெளியை ஏறக்குறைய நிரப்பும் வடிவங்கள்

சதுரங்களும் அறுகோணங்களும் தரையைச் சரியாகப் பாவுகின்றன. பல பிற வடிவங்கள் அப்படிச் செய்வதில்லை. ஆனால் எல்லா இடத்தையும் பாவ முடியாத ஒரு வடிவம், இடைவெளியோ மேற்படிவோ இன்றி, தன் நகல்களால் இறுக்கமாக சூழப்படக்கூடும். அத்தகைய நகல் வளையம் கரோனா (corona) எனப்படுகிறது. சில நேரங்களில் முதலாவதைச் சுற்றி இரண்டாவது கரோனா பொருந்துகிறது, பிறகு மூன்றாவது. நீங்கள் உருவாக்கக்கூடிய அதிகபட்சக் கரோனாக்களின் எண்ணிக்கையே, ஹைன்ரிச் ஹீஷின் பெயரால் அழைக்கப்படும், அந்த வடிவத்தின் ஹீஷ் எண்.

தளத்தைப் பாவும் ஒரு வடிவத்துக்கு ஹீஷ் எண் முடிவிலி; மறுதலையும் உண்மை. ஆகவே, பாவாத ஒரு வடிவம் பாவுதலுக்கு எவ்வளவு நெருங்குகிறது என்பதை இந்த எண் அளக்கிறது.

ஆறில் சிக்கிக்கொண்டது

முடிவுள்ள ஹீஷ் எண்களுக்கு ஓர் உச்சவரம்பு உண்டா என்று ஹீஷ் சிக்கல் கேட்கிறது. ஆய்வுக்கட்டுரையின்படி, தளத்தில் முன்னேற்றம் மெதுவாகவே இருந்தது: ஆண்டுகள் செல்லச் செல்ல ஹீஷ் எண் 2, பிறகு 3, பிறகு 5 கொண்ட உருவங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன; 2021-இல் 6, அதுவே இன்னும் தளத்தின் சாதனை. அந்த உருவத்தைக் கண்டுபிடித்தவர் புதிய ஆய்வுக்கட்டுரையின் ஆசிரியரே. சதுரங்கள், அறுகோணங்கள் அல்லது முக்கோணங்களால் ஆன வடிவங்களிடையே நடந்த பெரிய கணினித் தேடல்கள் 4-க்கு மேல் எதையும் ஒருபோதும் கண்டுபிடிக்கவில்லை.

இந்தக் கேள்வியின் முக்கியத்துவம் புதிர்களுக்கு அப்பாற்பட்டது. நியாயமான ஒரு வடிவக் குடும்பத்துக்கு ஹீஷ் எண்களுக்கு ஓர் உச்சவரம்பு இருந்தால், ஒரு வடிவம் தளத்தைப் பாவுகிறதா என்று தீர்மானிக்க முடியும்: உச்சவரம்பு அனுமதிப்பதை விட ஒரு கரோனா அதிகமாக உருவாக்க முயன்றாலே போதும். தளத்தில் ஒரே ஒரு வடிவத்துக்கு இதைத் தீர்மானிக்க முடியுமா என்பது இன்னும் தெரியவில்லை.

முப்பரிமாணத்தில் உச்சவரம்பு இல்லை

போயன் பாஷிச் (நோவி சாட் பல்கலைக்கழகம், செர்பியா) வெளியில் இந்தக் கேள்வியைத் தீர்க்கிறார். ஒவ்வொரு முழு எண் h-க்கும், ஹீஷ் எண் முடிவுள்ளதாகவும் குறைந்தது h ஆகவும் இருக்கும் ஒரு திண்மத்தை அவர் உருவாக்குகிறார். ஒரு முப்பரிமாணக் கட்டமைப்பை உயர் பரிமாணங்களுக்கு நீட்டிக்க முடியும் என்பதால், 3 முதல் மேலே எல்லாப் பரிமாணங்களிலும் இதுவே பொருந்தும். தளம் திறந்தே உள்ளது.

கட்டமைப்பு வெளிப்படையானது, அடிப்படையானது. வடிவம், சிறிய புடைப்புகளாலும் அவற்றுக்குப் பொருந்தும் வெட்டுகளாலும் அலங்கரிக்கப்பட்ட 48h + 64 அலகுக் கனசதுரங்களால் ஆனது.

ஒரு கோட்டில் நான்கு எண்கள்

எல்லாம் நான்கு முழு எண்களுடன் தொடங்குகிறது:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

இந்தக் கணத்தின் நகர்த்தப்பட்ட நகல்கள், மேற்படிவின்றி எல்லா முழு எண்களையும் ஒருபோதும் மூட முடியாது: ஆய்வுக்கட்டுரை ஒரு சிறிய நிரூபணத்தைத் தருகிறது. ஆனாலும், கணம் தானே 4n நீளத்தை மட்டுமே பரவியிருந்தாலும், அவை 4n² − 10n − 2 தொடர்ச்சியான முழு எண்களின் தொடரை இடைவெளியின்றி நிரப்ப முடியும். அவ்வளவு நீளமான ஒரு நூலிழைத் தவறலே, ஒரு பெரிய ஹீஷ் எண்ணுக்குச் சரியாகத் தேவைப்படுவது.

புள்ளிகளிலிருந்து கனசதுரங்களுக்கு

ஆசிரியர் நான்கு புள்ளிகளைக் கனசதுரங்களின் ஒரு வலைச்சட்டத்தில் மூலைவிட்டத் திசையில் வைத்து, ஒவ்வொன்றுடனும் ஒரே வளைந்த பாதையை இணைக்கிறார்: ஓர் அச்சில் 2n கனசதுரங்கள், பிறகு ஒரு நிலை மேலே, இன்னோர் அச்சில் 2n கனசதுரங்கள். நான்கு பாதைகளும் 16n கனசதுரங்கள் கொண்ட, இணைக்கப்பட்ட ஒற்றைக் கட்டையாக இணைகின்றன. அது நான்கு எண்களின் இரண்டு பண்புகளையும் மரபுரிமையாகப் பெறுகிறது: அதனால் வெளியை நிரப்ப முடியாது, ஆனால் அதன் நகல்கள் 4n² − 12n − 1 விளிம்பு கொண்ட ஒரு முழுக் கனசதுரத்தை நிரப்புகின்றன.

முகங்களில் உள்ள சிறிய புடைப்புகள், ஒவ்வொன்றும் தன் சொந்த வெட்டுக்கு மட்டுமே பொருந்துவதால், நகல்கள் சுழற்றப்படுவதையோ புரட்டப்படுவதையோ தடுக்கின்றன; எனவே அண்டைகள் சரியாக வரிசையில் அமைய நிர்ப்பந்திக்கப்படுகின்றன. பிறகு, அந்த நிரம்பிய பெரிய கனசதுரத்தின் மையத்தில் உள்ள ஒரு நகலிலிருந்து தொடங்கி, வளையம் வளையமாக நகல்களைக் கரோனாக்களாக உரித்தெடுக்க முடியும். n = 3h + 4 எனத் தேர்ந்தெடுப்பது, அவற்றில் குறைந்தது h இருப்பதை உறுதிசெய்கிறது.

தளத்துக்கு முன் வெளி

தளத்துக்கு முன் வெளியில் விடை காணப்பட்ட முதல் பாவுதல் கேள்வி இது அல்ல என்று ஆய்வுக்கட்டுரை குறிப்பிடுகிறது. ஹில்பர்ட் கேட்ட, ஒரு சிறப்பு வகையான வெளி நிரப்பும் திண்மம் 1928-இல், அதன் தட்டையான இணைக்கு ஏழு ஆண்டுகள் முன்பே கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. ஒரு முப்பரிமாண ஆவர்த்தனமற்ற (aperiodic) திண்மம் 1988-இல் உருவாக்கப்பட்டது; தளத்தில் ஆவர்த்தனமற்ற வடிவங்கள் கண்டுபிடிக்கப்படுவதற்குச் சுமார் மூன்றரை பத்தாண்டுகள் முன்பு. தளத்தின் 6 என்ற சாதனையை வரம்பின்றி முறியடிக்க முடியுமா என்பதே ஹீஷ் கேள்வியில் இன்னும் காத்திருக்கும் பகுதி.