أشكال تكاد تملأ الفضاء

تبلّط المربعات والسداسيات الأرضية تبليطًا تامًا. وكثير من الأشكال الأخرى لا تفعل. لكن الشكل الذي لا يستطيع تبليط كل شيء قد يمكن مع ذلك إحاطته بنسخ منه، بإحكام، بلا فجوات ولا تداخل. وتسمّى حلقة النسخ هذه إكليلًا (corona). وأحيانًا يتسع إكليل ثانٍ حول الأول، ثم ثالث. وأكبر عدد من الأكاليل يمكن بناؤه هو عدد هيش للشكل، نسبةً إلى Heinrich Heesch.

الشكل الذي يبلّط المستوي عدد هيش له لانهائي، والعكس صحيح أيضًا. لذا يقيس هذا العدد مدى اقتراب شكل لا يبلّط المستوي من تبليطه.

عالقون عند ستة

تسأل مسألة هيش عمّا إذا كان لأعداد هيش المنتهية سقف. وفي المستوي، كان التقدم بطيئًا بحسب الورقة: عُثر على مر السنين على أشكال عدد هيش لها 2، ثم 3، ثم 5، ثم 6 عام 2021، ولا يزال هذا الرقم القياسي في المستوي. وقد عثر على ذلك الشكل مؤلف الورقة الجديدة نفسه. ولم تجد عمليات بحث حاسوبية واسعة بين أشكال مصنوعة من مربعات أو سداسيات أو مثلثات أي شيء فوق 4.

وللمسألة أهمية تتجاوز الألغاز. فلو كان لأعداد هيش سقف لعائلة معقولة من الأشكال، لأمكن البتّ فيما إذا كان شكل ما يبلّط المستوي: يكفي محاولة بناء إكليل واحد أكثر مما يسمح به السقف. أما إمكان البتّ في ذلك لشكل واحد في المستوي فلا يزال مجهولًا.

لا سقف في الأبعاد الثلاثة

يحسم Bojan Bašić (جامعة نوفي ساد، صربيا) المسألة في الفضاء. فلـكل عدد صحيح h، يبني مجسّمًا عدد هيش له منتهٍ ولا يقل عن h. وبما أن بناءً ثلاثي الأبعاد يمكن تمديده إلى أبعاد أعلى، فإن الأمر نفسه يصح في كل بُعد من 3 فما فوق. أما المستوي فيبقى مفتوحًا.

البناء صريح وأوّلي. فالشكل مصنوع من 48h + 64 مكعبًا وحديًا، مزيّنة بنتوءات صغيرة وحزوز مطابقة لها.

أربعة أعداد على خط

يبدأ كل شيء بأربعة أعداد صحيحة:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

لا تستطيع النسخ المُزاحة لهذه المجموعة أبدًا تغطية كل الأعداد الصحيحة دون تداخل: وتقدّم الورقة برهانًا قصيرًا على ذلك. ومع ذلك يمكنها أن تملأ، دون فجوات، سلسلة من 4n² − 10n − 2 عددًا صحيحًا متتاليًا، مع أن المجموعة نفسها لا تمتد إلا على 4n. وإخفاق وشيك بهذا الطول هو بالضبط ما يحتاجه عدد هيش كبير.

من النقاط إلى المكعبات

يضع المؤلف النقاط الأربع على امتداد اتجاه قُطري في شبكة من المكعبات، ويُلحق بكل منها المسار المثني نفسه: 2n مكعبًا على امتداد محور، ثم مستوى واحد إلى الأعلى و2n مكعبًا على امتداد محور آخر. وتلتحم المسارات الأربعة في كتلة واحدة متصلة من 16n مكعبًا. وترث هذه الكتلة خاصيتي الأعداد الأربعة كلتيهما: فهي لا تستطيع ملء الفضاء، لكن نسخها تملأ مكعبًا كاملًا طول ضلعه 4n² − 12n − 1.

وتمنع النتوءات الصغيرة على الأوجه، التي لا يناسب كلٌّ منها إلا حزّه الخاص، تدوير النسخ أو قلبها، فيُرغَم الجيران على الاصطفاف بدقة. ثم، انطلاقًا من نسخة في مركز ذلك المكعب الكبير الممتلئ، يمكن تقشير حلقة تلو حلقة من النسخ بوصفها أكاليل. واختيار n = 3h + 4 يضمن h منها على الأقل.

الفضاء قبل المستوي

تشير الورقة إلى أن هذه ليست أول مسألة تبليط تُحلّ في الفضاء قبل المستوي. فقد عُثر عام 1928 على مجسّم من نوع خاص يملأ الفضاء، كان هيلبرت قد سأل عنه، قبل نظيره المستوي بسبع سنوات. وبُني مجسّم لادوري (aperiodic) ثلاثي الأبعاد عام 1988، قبل اكتشاف الأشكال اللادورية في المستوي بنحو ثلاثة عقود ونصف. أما ما إذا كان الرقم القياسي 6 في المستوي يمكن تجاوزه بلا حدود، فهو الجزء من سؤال هيش الذي لا يزال ينتظر.