FORMAS QUE QUASE ENCHEM O ESPAÇO

Quadrados e hexágonos pavimentam o chão na perfeição. Muitas outras formas não. Mas uma forma que não consegue pavimentar tudo pode ainda assim ser rodeada por cópias de si mesma, bem encaixadas, sem buracos nem sobreposições. Um anel de cópias destes chama-se coroa. Por vezes, uma segunda coroa cabe à volta da primeira, depois uma terceira. O maior número de coroas que se consegue construir é o número de Heesch da forma, em homenagem a Heinrich Heesch.

Uma forma que pavimenta o plano tem um número de Heesch infinito, e o recíproco também é verdade. Assim, o número mede quão perto uma forma que não pavimenta está de pavimentar.

Preso no seis

O problema de Heesch pergunta se os números de Heesch finitos têm um teto. No plano, os progressos foram lentos, segundo o artigo: ao longo dos anos encontraram-se figuras com número de Heesch 2, depois 3, depois 5, e 6 em 2021, ainda hoje o recorde no plano. Essa figura foi encontrada pelo próprio autor do novo artigo. Grandes pesquisas por computador entre formas feitas de quadrados, hexágonos ou triângulos nunca encontraram nada acima de 4.

A questão importa para lá dos quebra-cabeças. Se os números de Heesch tivessem um teto para uma família razoável de formas, poder-se-ia decidir se uma forma pavimenta o plano: bastaria tentar construir uma coroa a mais do que o teto permite. Se isso pode ser decidido para uma única forma no plano continua a ser desconhecido.

Sem teto em três dimensões

Bojan Bašić (Universidade de Novi Sad, Sérvia) resolve a questão no espaço. Para todo o número inteiro h, constrói um sólido cujo número de Heesch é finito e pelo menos h. Como uma construção 3D se pode estender a dimensões superiores, o mesmo vale em todas as dimensões a partir de 3. O plano continua em aberto.

A construção é explícita e elementar. A forma é feita de 48h + 64 cubos unitários, decorados com pequenas saliências e entalhes correspondentes.

Quatro números numa reta

Tudo começa com quatro inteiros:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Cópias deslocadas deste conjunto nunca conseguem cobrir todos os inteiros sem sobreposição: o artigo dá uma demonstração curta. Ainda assim, conseguem preencher, sem buracos, uma sequência de 4n² − 10n − 2 inteiros consecutivos, embora o conjunto em si se estenda apenas por 4n. Um quase-acerto tão longo é exatamente aquilo de que um grande número de Heesch precisa.

Dos pontos aos cubos

O autor coloca os quatro pontos ao longo de uma direção diagonal de uma grelha de cubos e liga a cada um o mesmo caminho dobrado: 2n cubos ao longo de um eixo, depois um nível acima e 2n cubos ao longo de outro. Os quatro caminhos juntam-se num único bloco conexo de 16n cubos. Ele herda ambas as propriedades dos quatro números: não consegue encher o espaço, mas as suas cópias enchem um cubo inteiro de aresta 4n² − 12n − 1.

Pequenas saliências nas faces, cada uma encaixando apenas no seu próprio entalhe, impedem que as cópias sejam rodadas ou espelhadas, pelo que as vizinhas são forçadas a alinhar-se exatamente. Depois, partindo de uma cópia no centro desse grande cubo preenchido, podem destacar-se anéis sucessivos de cópias como coroas. Escolher n = 3h + 4 garante pelo menos h delas.

O espaço antes do plano

O artigo nota que esta não é a primeira questão de pavimentação respondida no espaço antes do plano. Um sólido de um tipo especial que enche o espaço, sobre o qual Hilbert tinha perguntado, foi encontrado em 1928, sete anos antes do seu equivalente plano. E um sólido aperiódico tridimensional foi construído em 1988, cerca de três décadas e meia antes de se descobrirem formas aperiódicas no plano. Saber se o recorde plano de 6 pode ser batido sem limite é a parte da pergunta de Heesch que ainda espera resposta.