ФИГУРЫ, ПОЧТИ ЗАПОЛНЯЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВО

Квадраты и шестиугольники идеально замощают пол. Многие другие фигуры — нет. Но фигуру, которой нельзя замостить всё, всё же можно плотно окружить её собственными копиями, без зазоров и наложений. Такое кольцо из копий называется короной. Иногда вокруг первой короны помещается вторая, затем третья. Наибольшее число корон, которое удаётся построить, — это число Хееша фигуры, названное в честь Генриха Хееша.

У фигуры, замощающей плоскость, число Хееша бесконечно, и обратное тоже верно. Так что это число показывает, насколько близко незамощающая фигура подходит к замощению.

Застряли на шести

Проблема Хееша спрашивает, есть ли у конечных чисел Хееша потолок. На плоскости, согласно статье, продвижение шло медленно: за годы нашли фигуры с числом Хееша 2, затем 3, затем 5 и в 2021 году — 6, и это до сих пор рекорд для плоскости. Ту фигуру нашёл сам автор новой статьи. Масштабный компьютерный поиск среди фигур из квадратов, шестиугольников или треугольников ни разу не дал больше 4.

Вопрос важен не только как головоломка. Если бы у чисел Хееша был потолок для разумного семейства фигур, можно было бы решать, замощает ли фигура плоскость: достаточно попробовать построить на одну корону больше, чем допускает потолок. Можно ли решить это для одной фигуры на плоскости, до сих пор неизвестно.

Потолка нет в трёх измерениях

Боян Башич (Университет Нови-Сада, Сербия) решает вопрос в пространстве. Для любого целого h он строит тело, у которого число Хееша конечно и не меньше h. Поскольку трёхмерную конструкцию можно продолжить в более высокие размерности, то же верно в любой размерности начиная с 3. Плоскость остаётся открытым вопросом.

Конструкция явная и элементарная. Фигура состоит из 48h + 64 единичных кубиков, снабжённых маленькими выступами и соответствующими выемками.

Четыре числа на прямой

Всё начинается с четырёх целых чисел:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Сдвинутые копии этого множества никогда не могут покрыть все целые числа без наложений: в статье дано короткое доказательство. И всё же они могут без зазоров заполнить подряд 4n² − 10n − 2 последовательных целых чисел, хотя само множество простирается лишь на 4n. Такой длинный «почти успех» — именно то, что нужно для большого числа Хееша.

От точек к кубикам

Автор размещает четыре точки вдоль диагонального направления решётки кубиков и присоединяет к каждой одинаковый изогнутый путь: 2n кубиков вдоль одной оси, затем на уровень выше и 2n кубиков вдоль другой. Четыре пути сливаются в единый связный блок из 16n кубиков. Он наследует оба свойства четырёх чисел: заполнить пространство он не может, но его копии заполняют целый куб с ребром 4n² − 12n − 1.

Маленькие выступы на гранях, каждый из которых входит только в свою выемку, не дают копиям поворачиваться или отражаться, так что соседи вынуждены выстраиваться точно. Затем, начиная с копии в центре этого большого заполненного куба, можно снимать кольцо за кольцом копий как короны. Выбор n = 3h + 4 гарантирует не меньше h из них.

Пространство раньше плоскости

В статье отмечено, что это не первый вопрос о замощениях, решённый в пространстве раньше, чем на плоскости. Заполняющее пространство тело особого типа, о котором спрашивал Гильберт, нашли в 1928 году, на семь лет раньше его плоского аналога. А трёхмерное апериодическое тело построили в 1988 году, примерно за три с половиной десятилетия до открытия апериодических фигур на плоскости. Можно ли превзойти плоский рекорд 6 без ограничений — эта часть вопроса Хееша всё ещё ждёт ответа.