几乎能填满空间的形状

正方形和六边形可以完美地铺满地面，许多其他形状则不行。但一个无法铺满一切的形状，仍可能被自身的副本包围，严丝合缝，既无空隙也无重叠。这样一圈副本称为一个冕（corona）。有时第一圈冕外面还能再放一圈，然后是第三圈。能够构造的最多冕数，就是这个形状的希施数，以Heinrich Heesch的名字命名。

能铺满平面的形状，其希施数为无穷大，反之亦然。因此，这个数衡量的是一个不能铺满平面的形状离铺满有多近。

卡在六

希施问题问的是：有限的希施数是否存在上限？论文指出，在平面上进展缓慢：多年来陆续发现了希施数为2、3、5的图形，2021年发现了希施数为6的图形，至今仍是平面纪录。这个图形正是由这篇新论文的作者本人找到的。对由正方形、六边形或三角形组成的形状进行的大规模计算机搜索，从未找到超过4的结果。

这个问题的意义不止于智力游戏。如果对于某个合理的形状族，希施数存在上限，人们就能判定一个形状能否铺满平面：只需尝试构造比上限多一圈的冕即可。对于平面上的单个形状，这是否可判定至今仍是未知的。

三维空间中没有上限

塞尔维亚诺维萨德大学的Bojan Bašić在空间中解决了这个问题。对于每一个整数h，他都构造出一个希施数有限且至少为h的立体。由于三维构造可以推广到更高维度，同样的结论在三维及以上的每个维度都成立。平面情形仍悬而未决。

这个构造是显式且初等的。该形状由48h + 64个单位立方体组成，并装饰着小凸起和与之匹配的小凹口。

直线上的四个数

一切都从四个整数开始：

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

这个集合平移后的副本永远无法不重叠地覆盖所有整数：论文给出了一个简短的证明。然而，尽管这个集合本身只跨越4n，它的副本却能无缝填满一段4n² − 10n − 2个连续整数。如此长的“差一点成功”，正是一个大希施数所需要的。

从点到立方体

作者把这四个点沿着立方体网格的一个对角方向放置，并给每个点连上同一条弯折的路径：沿一个轴走2n个立方体，然后上升一层，再沿另一个轴走2n个立方体。四条路径连成一个由16n个立方体组成的单一连通块。它继承了这四个数的两个性质：它无法填满空间，但它的副本能填满一个边长为4n² − 12n − 1的完整立方体。

面上的小凸起每个只与自己对应的凹口吻合，从而阻止副本旋转或翻转，迫使相邻副本精确对齐。然后，从那个被填满的大立方体中心的一个副本出发，就可以一圈又一圈地剥离出副本，作为一层层的冕。选择n = 3h + 4，可保证至少有h圈。

先空间，后平面

论文指出，这并不是第一个先在空间中、后在平面上得到解答的镶嵌问题。希尔伯特曾问及的一种特殊的空间填充立体在1928年被找到，比其平面对应物早了七年。而三维非周期立体在1988年就已构造出来，比平面上发现非周期形状早了大约三十五年。平面上的纪录6能否被无限地超越，是希施问题中仍在等待解答的部分。