যে আকৃতিগুলো প্রায় পুরো স্থান ভরিয়ে দেয়

বর্গ আর ষড়ভুজ মেঝে নিখুঁতভাবে ঢেকে দেয়। আরও অনেক আকৃতি তা পারে না। কিন্তু যে আকৃতি সবকিছু ঢাকতে পারে না, তাকেও তার নিজের প্রতিলিপি দিয়ে নিখুঁতভাবে, কোনো ফাঁক বা উপরিপাত ছাড়া ঘিরে ফেলা যেতে পারে। প্রতিলিপির এমন একটি বলয়কে বলে করোনা। কখনো কখনো প্রথমটির চারপাশে দ্বিতীয় একটি করোনা বসে যায়, তারপর তৃতীয়টি। সবচেয়ে বেশি যতগুলো করোনা গড়া যায়, সেটিই আকৃতিটির হিশ সংখ্যা, Heinrich Heesch-এর নামে।

যে আকৃতি সমতল ঢেকে দেয়, তার হিশ সংখ্যা অসীম, এবং উল্টোটাও সত্য। তাই সংখ্যাটি মাপে, সমতল ঢাকতে না-পারা একটি আকৃতি ঢাকার কতটা কাছাকাছি আসে।

ছয়ে আটকে

হিশের সমস্যা জানতে চায়, সসীম হিশ সংখ্যার কোনো ঊর্ধ্বসীমা আছে কি না। গবেষণাপত্র অনুযায়ী, সমতলে অগ্রগতি ধীর: বছরের পর বছর ধরে হিশ সংখ্যা 2, তারপর 3, তারপর 5-এর আকৃতি পাওয়া গেছে, আর 2021 সালে 6, যা এখনও সমতলের রেকর্ড। সেই আকৃতিটি খুঁজে পেয়েছিলেন নতুন গবেষণাপত্রের লেখক নিজেই। বর্গ, ষড়ভুজ বা ত্রিভুজ দিয়ে তৈরি আকৃতির মধ্যে বড় বড় কম্পিউটার-অনুসন্ধানে কখনো 4-এর ওপরে কিছু মেলেনি।

প্রশ্নটির গুরুত্ব ধাঁধার বাইরেও। যদি আকৃতির কোনো যুক্তিসংগত পরিবারের জন্য হিশ সংখ্যার ঊর্ধ্বসীমা থাকত, তবে ঠিক করা যেত কোনো আকৃতি সমতল ঢাকে কি না: সীমা যতগুলো করোনার অনুমতি দেয়, তার চেয়ে একটি বেশি গড়ার চেষ্টা করলেই হতো। সমতলে একটিমাত্র আকৃতির জন্য তা নির্ধারণযোগ্য কি না, এখনও অজানা।

ত্রিমাত্রিক স্থানে কোনো সীমা নেই

Bojan Bašić (নোভি সাদ বিশ্ববিদ্যালয়, সার্বিয়া) প্রশ্নটির নিষ্পত্তি করেছেন স্থানে। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা h-এর জন্য তিনি এমন একটি ঘনবস্তু গড়েন, যার হিশ সংখ্যা সসীম এবং অন্তত h। যেহেতু একটি ত্রিমাত্রিক নির্মাণকে উচ্চতর মাত্রায় সম্প্রসারিত করা যায়, তাই 3 থেকে শুরু করে প্রতিটি মাত্রাতেই একই কথা খাটে। সমতলের প্রশ্নটি এখনও খোলা।

নির্মাণটি সুস্পষ্ট ও প্রাথমিক স্তরের। আকৃতিটি তৈরি 48h + 64টি একক ঘনক দিয়ে, যাদের গায়ে ছোট ছোট উঁচু অংশ আর তার সঙ্গে মেলানো খাঁজ।

একটি রেখায় চারটি সংখ্যা

সবকিছু শুরু চারটি পূর্ণসংখ্যা দিয়ে:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

এই সেটের সরানো প্রতিলিপিগুলো উপরিপাত ছাড়া কখনো সব পূর্ণসংখ্যা ঢাকতে পারে না: গবেষণাপত্রটি এর একটি ছোট প্রমাণ দেয়। তবু তারা ফাঁক ছাড়াই 4n² − 10n − 2টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার একটি ধারা ভরিয়ে দিতে পারে, যদিও সেটটি নিজে কেবল 4n বিস্তৃত। এত লম্বা “অল্পের জন্য ফসকে যাওয়া” ঠিক সেটাই, যা একটি বড় হিশ সংখ্যার দরকার।

বিন্দু থেকে ঘনকে

লেখক চারটি বিন্দুকে ঘনকের একটি গ্রিডের একটি কর্ণ বরাবর বসান, এবং প্রত্যেকটির সঙ্গে একই বাঁকানো পথ জুড়ে দেন: একটি অক্ষ বরাবর 2n ঘনক, তারপর এক স্তর ওপরে উঠে আরেকটি অক্ষ বরাবর 2n ঘনক। চারটি পথ মিলে 16n ঘনকের একটিমাত্র সংযুক্ত খণ্ড তৈরি করে। এটি চারটি সংখ্যার দুটি বৈশিষ্ট্যই উত্তরাধিকারসূত্রে পায়: এটি স্থান ভরাতে পারে না, কিন্তু এর প্রতিলিপিরা 4n² − 12n − 1 বাহুর একটি পুরো ঘনক ভরিয়ে দেয়।

তলগুলোর ওপর ছোট ছোট উঁচু অংশ, যার প্রত্যেকটি কেবল নিজের খাঁজেই বসে, প্রতিলিপিগুলোকে ঘোরানো বা উল্টানো থেকে আটকায়, ফলে প্রতিবেশীরা ঠিক ঠিক সারিবদ্ধ হতে বাধ্য হয়। তারপর সেই বড় ভরা ঘনকের কেন্দ্রের একটি প্রতিলিপি থেকে শুরু করে বলয়ের পর বলয় প্রতিলিপি করোনা হিসেবে ছাড়িয়ে নেওয়া যায়। n = 3h + 4 বেছে নিলে অন্তত h-টি নিশ্চিত হয়।

সমতলের আগে স্থান

গবেষণাপত্রটি উল্লেখ করে, এটিই প্রথম টালি-বিন্যাসের প্রশ্ন নয় যার উত্তর সমতলের আগে স্থানে মিলেছে। হিলবার্টের জিজ্ঞাসিত এক বিশেষ ধরনের স্থান-ভরানো ঘনবস্তু পাওয়া গিয়েছিল 1928 সালে, তার সমতল প্রতিরূপের সাত বছর আগে। আর একটি ত্রিমাত্রিক অপর্যাবৃত্ত (aperiodic) ঘনবস্তু গড়া হয়েছিল 1988 সালে, সমতলে অপর্যাবৃত্ত আকৃতি আবিষ্কারের প্রায় সাড়ে তিন দশক আগে। সমতলের 6-এর রেকর্ড সীমাহীনভাবে ছাড়ানো যায় কি না, সেটিই হিশের প্রশ্নের সেই অংশ, যা এখনও অপেক্ষায়।