BENTUK-BENTUK YANG HAMPIR MEMENUHI RUANG

Persegi dan segi enam menubin lantai dengan sempurna. Banyak bentuk lain tidak. Namun bentuk yang tidak bisa menubin seluruh bidang mungkin tetap bisa dikelilingi salinan-salinannya sendiri, rapat, tanpa celah dan tanpa tumpang tindih. Cincin salinan semacam itu disebut korona. Kadang korona kedua muat mengelilingi yang pertama, lalu yang ketiga. Jumlah korona terbanyak yang bisa dibangun adalah bilangan Heesch bentuk itu, dinamai menurut Heinrich Heesch.

Bentuk yang menubin bidang memiliki bilangan Heesch tak hingga, dan kebalikannya juga benar. Jadi bilangan ini mengukur seberapa dekat bentuk yang tidak menubin itu dengan menubin.

Tertahan di angka enam

Masalah Heesch menanyakan apakah bilangan Heesch yang berhingga memiliki batas atas. Di bidang datar, kemajuannya lambat, menurut makalah ini: selama bertahun-tahun ditemukan bangun dengan bilangan Heesch 2, lalu 3, lalu 5, dan 6 pada 2021, yang hingga kini masih menjadi rekor di bidang datar. Bangun itu ditemukan oleh penulis makalah baru ini sendiri. Pencarian komputer besar-besaran di antara bentuk-bentuk yang tersusun dari persegi, segi enam, atau segitiga tidak pernah menemukan yang di atas 4.

Pertanyaan ini penting lebih dari sekadar teka-teki. Jika bilangan Heesch memiliki batas atas untuk suatu keluarga bentuk yang wajar, kita bisa memutuskan apakah suatu bentuk menubin bidang: cukup coba bangun satu korona lebih banyak daripada yang diizinkan batas itu. Apakah hal itu dapat diputuskan untuk satu bentuk di bidang datar masih belum diketahui.

Tanpa batas atas dalam tiga dimensi

Bojan Bašić (Universitas Novi Sad, Serbia) menjawab pertanyaan itu di ruang. Untuk setiap bilangan bulat h, ia membangun sebuah bangun ruang yang bilangan Heesch-nya berhingga dan setidaknya h. Karena konstruksi 3D dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi, hal yang sama berlaku di setiap dimensi mulai dari 3. Bidang datar tetap terbuka.

Konstruksinya eksplisit dan elementer. Bentuknya tersusun dari 48h + 64 kubus satuan, dihiasi tonjolan kecil dan takik yang serasi.

Empat bilangan di sebuah garis

Semuanya bermula dari empat bilangan bulat:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

Salinan himpunan ini yang digeser tidak pernah bisa menutupi semua bilangan bulat tanpa tumpang tindih: makalah ini memberikan bukti singkatnya. Namun salinan-salinan itu bisa mengisi, tanpa celah, deretan 4n² − 10n − 2 bilangan bulat berurutan, padahal himpunan itu sendiri hanya membentang sepanjang 4n. “Nyaris berhasil” yang sepanjang itu adalah persis yang dibutuhkan bilangan Heesch yang besar.

Dari titik ke kubus

Penulis menempatkan keempat titik itu di sepanjang arah diagonal kisi kubus, lalu menempelkan jalur bengkok yang sama pada masing-masing: 2n kubus di sepanjang satu sumbu, lalu naik satu tingkat dan 2n kubus di sepanjang sumbu lain. Keempat jalur itu bergabung menjadi satu balok terhubung berisi 16n kubus. Balok ini mewarisi kedua sifat empat bilangan tadi: ia tidak bisa memenuhi ruang, tetapi salinan-salinannya memenuhi sebuah kubus utuh bersisi 4n² − 12n − 1.

Tonjolan kecil di permukaannya, yang masing-masing hanya pas dengan takiknya sendiri, mencegah salinan diputar atau dicerminkan, sehingga salinan-salinan yang bertetangga dipaksa berbaris tepat. Lalu, mulai dari salinan di tengah kubus besar yang terisi itu, cincin demi cincin salinan dapat dikupas sebagai korona. Memilih n = 3h + 4 menjamin setidaknya h korona.

Ruang mendahului bidang

Makalah ini mencatat bahwa ini bukan pertanyaan pengubinan pertama yang terjawab di ruang sebelum di bidang. Sebuah bangun ruang pengisi ruang dari jenis khusus, yang pernah ditanyakan Hilbert, ditemukan pada 1928, tujuh tahun sebelum padanannya di bidang datar. Dan sebuah bangun ruang aperiodik tiga dimensi dibangun pada 1988, sekitar tiga setengah dasawarsa sebelum bentuk aperiodik ditemukan di bidang datar. Apakah rekor 6 di bidang datar bisa dilampaui tanpa batas adalah bagian dari pertanyaan Heesch yang masih menunggu.