اوہ شکلاں جیہڑیاں خلا نوں تقریباً بھر دیندیاں نیں

مربع تے چھ کونے فرش نوں بالکل ٹھیک ٹائلاں وانگ ڈھک دیندے نیں۔ کئی ہور شکلاں ایہہ نئیں کردیاں۔ پر جیہڑی شکل ہر تھاں نئیں ڈھک سکدی، اوہ فیر وی اپنیاں نقلاں نال، گھُٹ کے، بنا وِتھ تے بنا اک دوجے اُتے چڑھے، گھیری جا سکدی اے۔ نقلاں دے اجیہے گھیرے نوں کرونا (corona) آکھدے نیں۔ کدی کدی پہلے دے دوالے دوجا کرونا فِٹ ہو جاندا اے، فیر تیجا۔ سب توں ودھ کرونے جیہڑے تسیں بنا سکدے او، اوہ شکل دا ہیش نمبر اے، ہائنرش ہیش دے ناں اُتے۔

جیہڑی شکل سطح نوں ڈھک دیندی اے اوہدا ہیش نمبر بے انت ہوندا اے، تے اُلٹ وی سچ اے۔ ایس لئی ایہہ نمبر ناپدا اے کہ نہ ڈھکن والی شکل ڈھکن دے کِنّے نیڑے آندی اے۔

چھ اُتے اڑیا ہویا

ہیش دا مسئلہ پچھدا اے کہ کیہ محدود ہیش نمبراں دی کوئی چھت اے۔ مقالے موجب، سطح اُتے پیش رفت ہولی رہی اے: ورھیاں وچ ہیش نمبر 2، فیر 3، فیر 5 والیاں شکلاں لبھیاں، تے 2021 وچ 6، جیہڑا ہلے وی سطح دا ریکارڈ اے۔ اوہ شکل نویں مقالے دے لکھاری نے آپ ای لبھی سی۔ مربعاں، چھ کونیاں یا تکوناں توں بنیاں شکلاں وچ وڈیاں کمپیوٹر کھوجاں نوں کدی 4 توں اُتے کجھ نئیں لبھیا۔

ایہہ سوال بُجھارتاں توں اگے وی اہم اے۔ جے کسے معقول شکلاں دے ٹبر لئی ہیش نمبراں دی کوئی چھت ہوندی، تے فیصلہ کیتا جا سکدا کہ کوئی شکل سطح نوں ڈھکدی اے یا نئیں: بس چھت دی اجازت توں اک ودھ کرونا بنان دی کوشش کرو۔ سطح اُتے کسے اک شکل لئی ایہہ فیصلہ ہو سکدا اے یا نئیں، ایہہ ہلے وی نئیں پتہ۔

تِن پسار وچ کوئی چھت نئیں

بویان باشچ (نووی ساد یونیورسٹی، سربیا) ایہہ سوال خلا وچ حل کردا اے۔ ہر پورے عدد h لئی، اوہ اک ٹھوس شے بناندا اے جیہدا ہیش نمبر محدود تے گھٹو گھٹ h اے۔ کیونکہ تِن پسار والی بناوٹ نوں ودھ پساراں تک ودھایا جا سکدا اے، ایہو گل 3 توں اُتے ہر پسار وچ سچ اے۔ سطح کھُلی رہندی اے۔

بناوٹ صاف تے بنیادی اے۔ شکل 48h + 64 اکائی مکعباں توں بنی اے، جنہاں اُتے نکے اُبھار تے اوہناں نال ملدے کٹ سجے نیں۔

اک لکیر اُتے چار عدد

سب کجھ چار پورے عدداں توں شروع ہوندا اے:

Fₙ = {0, 2n − 1, 2n + 1, 4n}

ایس سیٹ دیاں سرکائیاں نقلاں کدی وی سارے پورے عدداں نوں بنا اک دوجے اُتے چڑھے نئیں ڈھک سکدیاں: مقالہ اک نکا ثبوت دیندا اے۔ پر اوہ، بنا وِتھ دے، 4n² − 10n − 2 لگاتار پورے عدداں دی اک لڑی بھر سکدیاں نیں، حالانکہ سیٹ آپ صرف 4n تک پھیلیا اے۔ ایڈا لما بال بال بچنا ای اوہ اے جیہدی اک وڈے ہیش نمبر نوں لوڑ اے۔

نقطیاں توں مکعباں تک

لکھاری چار نقطیاں نوں مکعباں دے اک جال دی ترچھی سمت وچ رکھدا اے، تے ہر اک نال اکو مُڑیا رستہ جوڑدا اے: اک دھُرے نال 2n مکعب، فیر اک پدھر اُتے تے دوجے دھُرے نال 2n مکعب۔ چارے رستے 16n مکعباں دے اک جُڑے بلاک وچ مل جاندے نیں۔ ایہہ چار عدداں دیاں دوویں خوبیاں ورثے وچ لیندا اے: ایہہ خلا نئیں بھر سکدا، پر ایہدیاں نقلاں 4n² − 12n − 1 کنارے والا اک پورا مکعب بھر دیندیاں نیں۔

منہ اُتے نکے اُبھار، ہر اک صرف اپنے کٹ وچ فِٹ ہوندا اے، نقلاں نوں گھمان یا پلٹن توں روکدے نیں، ایس لئی گوانڈیاں نوں ٹھیک قطار وچ آنا پیندا اے۔ فیر، اوس وڈے بھرے مکعب دے وچکار اک نقل توں شروع کر کے، گھیرا گھیرا نقلاں نوں کروناں وانگ لاہیا جا سکدا اے۔ n = 3h + 4 چُننا گھٹو گھٹ h کروناں دی ضمانت دیندا اے۔

سطح توں پہلاں خلا

مقالہ دسدا اے کہ ایہہ ٹائلاں دا پہلا سوال نئیں جیہدا جواب سطح توں پہلاں خلا وچ ملیا ہووے۔ ہلبرٹ دی پچھی اک خاص قسم دی خلا بھرن والی ٹھوس شے 1928 وچ لبھی، اپنی پدھری جوڑی دار توں ست ورھے پہلاں۔ تے اک تِن پسار والی غیر دوری (aperiodic) ٹھوس شے 1988 وچ بنی، سطح اُتے غیر دوری شکلاں لبھن توں لگ بھگ ساڈھے تِن دہاکے پہلاں۔ کیہ سطح دا 6 والا ریکارڈ بے حد توڑیا جا سکدا اے، ایہہ ہیش دے سوال دا اوہ حصہ اے جیہڑا ہلے وی اُڈیک رہیا اے۔